Mathématiques Appliquées emlyon 2026 : corrigé et correction de l'Exercice 1, Partie A
Voici le corrigé — la correction détaillée — de la Partie A de l'Exercice 1 de l'épreuve de Mathématiques Appliquées emlyon 2026 (banque BCE, filière ECG) : l'étude complète d'une fonction de deux variables, du calcul du gradient jusqu'à la nature du point critique, puis l'étude de ses lignes de niveau. Chaque étape est justifiée et expliquée, pas seulement donnée.
Le contexte : la fonction étudiée dans la Partie A
La Partie A de l'Exercice 1 de Mathématiques Appliquées emlyon 2026 porte sur l'étude d'une fonction de deux variables réelles. On note \(\mathscr{D}\) l'ensemble des couples \((x,y) \in \mathbb{R}^2\) tels que \(1+xy \gt 0\), et on considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathscr{D}\) par :
\[ f(x,y) = x + \ln(1+xy) \]
C'est un exercice classique d'étude de fonctions de deux variables, un chapitre central du programme de Maths Appliquées ECG : calcul du gradient, recherche des points critiques, étude de la matrice hessienne pour déterminer leur nature, puis exploitation des lignes de niveau pour représenter graphiquement la fonction. On retrouve exactement ces étapes ci-dessous, avec la justification de chaque calcul.
Question 1.a — Calcul du gradient de f
La fonction \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\mathscr{D}\) car elle est obtenue par somme et composition de fonctions de classe \(\mathscr{C}^2\) (la fonction \(\ln\) est \(\mathscr{C}^2\) sur \(]0;+\infty[\), et \((x,y)\mapsto 1+xy\) est polynomiale). Pour calculer les dérivées partielles, on utilise la formule de dérivation d'une composée : la dérivée partielle de \(\ln(1+xy)\) par rapport à \(x\) est \(\dfrac{y}{1+xy}\) (on dérive \(1+xy\) par rapport à \(x\), ce qui donne \(y\), puis on divise par \(1+xy\)) ; par rapport à \(y\), c'est \(\dfrac{x}{1+xy}\).
On obtient donc, pour tout \((x,y) \in \mathscr{D}\) :
Question 1.b — Le point critique de f
Un point critique est un point où le gradient s'annule. On résout, pour \((x,y) \in \mathscr{D}\) :
\[ \nabla f(x,y) = (0,0) \]
\[ \iff \]
\[ \begin{cases} 1+\dfrac{y}{1+xy} = 0 \\[6pt] \dfrac{x}{1+xy} = 0 \end{cases} \]
Sur \(\mathscr{D}\), on a par définition \(1+xy \gt 0\), donc ce dénominateur ne s'annule jamais : on peut donc multiplier chaque équation par \(1+xy\) sans risque de division par zéro. Le système devient :
\[ \iff \begin{cases} 1+y = 0 \\ x = 0 \end{cases} \]
\[ \iff (x,y) = (0,-1) \]
Question 1.c — Hessienne, valeurs propres et nature du point critique
On calcule les quatre dérivées partielles secondes de \(f\), pour tout \((x,y) \in \mathscr{D}\) :
\[ \partial_{1,1}f(x,y) = \]
\[ \dfrac{-y^2}{(1+xy)^2} \]
\[ \partial_{2,1}f(x,y) = \partial_{1,2}f(x,y) = \]
\[ \dfrac{1}{(1+xy)^2} \]
(égalité garantie par le théorème de Schwarz)
\[ \partial_{2,2}f(x,y) = \]
\[ \dfrac{-x^2}{(1+xy)^2} \]
En évaluant ces expressions au point critique \((0,-1)\), on obtient la matrice hessienne :
⚠ Le piège classique à cet endroit précis : pour évaluer \(\partial_{1,1}f(0,-1) = \dfrac{-(-1)^2}{1^2}\), il faut appliquer le carré avant le signe moins : \((-1)^2 = 1\), donc \(\dfrac{-(-1)^2}{1^2} = -1\), et non \(+1\). C'est l'une des dix fautes d'automatismes les plus fréquentes que je retrouve en corrigeant les copies de cette épreuve — je l'ai détaillée, avec sa conséquence sur toute la suite de l'exercice, dans mon article sur les 10 fautes d'automatismes en Maths Appliquées ECG.
On détermine ensuite les valeurs propres \(\lambda\) de cette matrice, en résolvant \(\det\left(\nabla^2f(0,-1) - \lambda I_2\right) = 0\) :
\[ \det \begin{pmatrix} -1-\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda \end{pmatrix} = 0 \]
\[ \iff \lambda(1+\lambda) - 1 = 0 \]
\[ \iff \lambda^2+\lambda-1 = 0 \]
Ce trinôme du second degré a pour discriminant \(\Delta = 1+4 = 5\), d'où deux racines :
\[ \lambda = \]
\[ \dfrac{-1+\sqrt5}{2} \]
\[ \text{ou} \quad \lambda = \]
\[ \dfrac{-1-\sqrt5}{2} \]
Comme \(\sqrt5 \approx 2{,}236\), on a \(\dfrac{-1+\sqrt5}{2} \approx 0{,}618 \gt 0\) et \(\dfrac{-1-\sqrt5}{2} \approx -1{,}618 \lt 0\) : le spectre de \(\nabla^2f(0,-1)\) contient une valeur propre strictement positive et une valeur propre strictement négative.
Question 2.a — Équation de la ligne de niveau k
Soit \(k \in \mathbb{R}\) et soit \((x,y) \in \mathscr{D}\) avec \(x \neq 0\). On cherche à résoudre \(f(x,y)=k\) en exprimant \(y\) en fonction de \(x\) et \(k\) :
\[ f(x,y) = k \iff x+\ln(1+xy) = k \]
\[ \iff \ln(1+xy) = k-x \]
\[ \iff 1+xy = e^{k-x} \]
Comme \(x \neq 0\), on peut diviser par \(x\) pour isoler \(y\) :
Question 2.b — Quelles valeurs de k afficher, et code Python
La ligne de niveau \(k\) apparaît sur le graphique demandé pour \(k\) appartenant à l'ensemble :
\[ \left\{-0{,}4+i/5 \;;\; i \in \{0,1,\ldots,7\}\right\} \]
soit : k ∈ {−0,4 ; −0,2 ; 0 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1}
On complète alors la ligne du programme qui calcule les ordonnées \(y = \dfrac{e^{k-x}-1}{x}\) pour chaque \(x\) du tableau \(X\), en traduisant directement la formule de la question 2.a :
Le réflexe à avoir ici : reconnaître que la formule demandée par le code est exactement celle obtenue à la question précédente, et la traduire terme à terme avec np.exp pour l'exponentielle.
La méthode à retenir pour un point critique de deux variables
Les quatre étapes à suivre systématiquement, quel que soit l'énoncé :
- 1. Justifier la classe \(\mathscr{C}^2\) de la fonction (somme, composition de fonctions usuelles), condition nécessaire pour appliquer le théorème de Schwarz ensuite.
- 2. Résoudre \(\nabla f(x,y)=(0,0)\) pour trouver le ou les points critiques — en vérifiant bien qu'on ne divise jamais par une expression qui pourrait s'annuler.
- 3. Calculer la matrice hessienne en ce point, à l'aide des trois dérivées partielles secondes distinctes (Schwarz garantit l'égalité des deux dérivées croisées).
- 4. Étudier le signe des valeurs propres de la hessienne : deux valeurs propres positives signent un minimum local, deux négatives un maximum local, une positive et une négative un point-selle.
Cette méthode est strictement la même sur tous les exercices d'étude de fonctions de deux variables en Maths Appliquées ECG — seule la fonction change.
Ce corrigé ne traite qu'un exercice — mais une bonne partie des points perdus le jour du concours ne vient pas d'un manque de méthode. En corrigeant les copies de Maths Appliquées emlyon, je retrouve sans cesse les 10 mêmes fautes d'automatismes — dont celle rencontrée plus haut sur cet exercice — y compris dans de très bonnes copies : des erreurs de signe, de calcul ou de rédaction, qui coûtent des points bêtement alors que le raisonnement est juste.
Retrouvez les 10 fautes d'automatismes les plus fréquentes en Maths Appliquées ECG (emlyon 2026), avec pour chacune le calcul correct, l'explication détaillée, et son origine (collège, lycée ou algèbre linéaire de prépa) — pour les repérer avant qu'elles ne vous coûtent des points.